Векторы

Обозначения:
Длина вектора, модуль (абсолютная величина):


Сумма векторов:
(правило треугольника) (рис. 1.22);
(правило параллелограмма) (рис. 1.23);
(правило многоугольника);
(правило параллелепипеда, - диагональ).
Разность векторов:
Формула вычитания векторов: (рис. 1.24).
Признак коллинеарности векторов:


Законы векторной алгебры
Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства


Координатные формулы
Пусть - взаимно ортогональные единичные векторы, имеющие направления координатных осей; - координаты вектора ; - координаты вектора ; или Тогда:
Если - начало вектора, - его конец, то

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и :



где - угол между векторами и ; если либо , то

Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:



Скалярное произведение в координатах

Если то



Угол между векторами





Векторное произведение

Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для когорого:

1) ( - угол между векторами и , );

2)

3) тройка , , - правая.

Свойства векторного произведения: если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .
екторное произведение в координатах
Если , то
или
или
В частности


Некоторые соотношения
(двойное векторное произведение),
(тождество Якоби),



Смешанное произведение трех векторов
Определение:
Свойства смешанного произведения: - компланарны.
Если V - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , то если тройка правая, и если тройка левая.
Смешанное произведение в координатах
Если то



Проекции вектора на ось
Обозначения: - проекции вектора на ось l; - величина проекции вектора на ось l.
Свойства проекций:

Составляющие (компоненты) вектора (рис. 1.25):


Координаты вектора : ( - углы, образуемые вектором с положительными направленями осей координат Ox, Oy, Oz прямоугольной декартовой системы координат).
, , называются направляющими косинусами вектора где Если - единичный вектор в направлении , то


Полезные ресурсы:
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/preobr3.php
Помощь студентам в высшей математике http://www.mathelp.net/MA3.htm